科技日?qǐng)?bào)廣州1月15日電(記者 葉青 通訊員 華軒)記者15日從華南理工大學(xué)獲悉，該校數(shù)學(xué)學(xué)院副教授姚若飛與西安交通大學(xué)教授陳紅斌、澳門大學(xué)教授桂長(zhǎng)峰合作的一項(xiàng)研究，破解了數(shù)學(xué)界的“熱點(diǎn)猜想”關(guān)鍵難題。相關(guān)成果13日在線發(fā)表于國(guó)際期刊《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》。

　　想象一個(gè)絕熱的房間，墻壁既不吸熱也不放熱，若在某處短暫加熱，熱量便會(huì)從高溫向低溫?cái)U(kuò)散。隨時(shí)間推移，房間內(nèi)溫度逐漸趨于一致；但只要系統(tǒng)尚未完全均勻，房間內(nèi)就仍會(huì)存在“最熱點(diǎn)”與“最冷點(diǎn)”。

　　“直覺上，人們傾向于認(rèn)為，在時(shí)間足夠長(zhǎng)但尚未達(dá)到平衡時(shí)，這些極熱或極冷點(diǎn)更可能出現(xiàn)在墻面邊緣，而非房間內(nèi)部。這正是美國(guó)數(shù)學(xué)家Rauch于1974年提出的‘熱點(diǎn)猜想’�！币θ麸w介紹，“在數(shù)學(xué)家的眼里，‘熱點(diǎn)猜想’可等價(jià)表述為：對(duì)于平面上的凸區(qū)域，拉普拉斯算子在絕熱邊界條件下的第二特征函數(shù)，其最大值和最小值只能在該區(qū)域的邊界上取得。”

　　半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，“熱點(diǎn)猜想”持續(xù)吸引著國(guó)際數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注。雖然多位學(xué)者圍繞不同幾何區(qū)域和特殊情形取得了一系列重要進(jìn)展，但作為最基本的凸多邊形之一，平面三角形雖結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明，其特征函數(shù)的精細(xì)行為分析卻極具挑戰(zhàn)，因?yàn)樗�既是“熱點(diǎn)猜想”研究中的關(guān)鍵難點(diǎn)，也是檢驗(yàn)相關(guān)理論與方法的重要基礎(chǔ)模型。

　　在這項(xiàng)研究中，科研團(tuán)隊(duì)聚焦三角形情形，開展了系統(tǒng)而深入的分析。歷經(jīng)13年，他們不僅解決了菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒于2012年在Polymath Project7中提出的“最大值的精確位置”公開問(wèn)題，還推進(jìn)并完善了《數(shù)學(xué)年刊》2020年相關(guān)文章關(guān)于臨界點(diǎn)的公開問(wèn)題及其主要結(jié)論，并對(duì)特征函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題給出了解答。

　　姚若飛回憶，在關(guān)鍵技術(shù)路線上，他們?cè)鴩L試以復(fù)分析思路切入，但進(jìn)展受阻。隨后，他們采用“直接證明對(duì)稱性”的思路推進(jìn)，局面由此逐步打開。

　　此外，該研究還就特征函數(shù)節(jié)點(diǎn)線位置、混合邊值問(wèn)題的特征值不等式等若干公開問(wèn)題給出了進(jìn)一步解答。

　　在三角形這一基礎(chǔ)幾何模型中，科研團(tuán)隊(duì)圍繞第二絕熱特征函數(shù)的一系列關(guān)鍵結(jié)構(gòu)問(wèn)題給出了系統(tǒng)且嚴(yán)格的結(jié)論。相關(guān)方法與結(jié)果可為譜幾何、偏微分方程及相關(guān)方向的后續(xù)研究提供參考。